其实曲面电影 简介怎么写的问题并不复杂，但是又很多的朋友都不太了解曲面电影 简介怎么写吸引人，因此呢，今天小编就来为大家分享曲面电影 简介怎么写的一些知识，希望可以帮助到大家，下面我们一块儿来看看这个问题的分析吧！
本文目录
[One]、极小曲面的介绍
在数学中，极小曲面是指平均曲率为零的曲面。
[Two]、曲面清洗机介绍
清洗机的工作原理就是通过动力驱动泵对水完成一个吸、排过程，将一定量的水输送到高压管路，使其以很大的能量到达高压喷嘴
[Three]、什么是曲率
（小石头来尝试着回答这个问题！）
早期曲率的概念是伴随着《微积分》一起出现地，它是对于曲线而言的，也是构成经典微分几何中《曲线论》的基石之一；
之后，以高斯为主的数学家将曲线的曲率引入到曲面中，得到了：法曲率、侧地曲率、高斯曲率等概念，同时也促成了《曲面论》的诞生；
再之后，黎曼将高斯曲率等概念推广到任意维度的流形中以构建《黎曼几何》，从而开启了现代微分几何的大门。
下面，小石头将详细介绍前两个阶段中的曲率。（至于第三个阶段的曲率，由于需要微分流形相关的一系列基础知识，无法在本回答中进行讨论，以后时机成熟时我们再讨论。）
基于《解析几何》的知识，我们知道，三维空间R3的空间曲线，可写成如下参数形式（t∈R）：
为了方便，仿照空间向量r=(x,y,z)，我们将曲线的参数方程，改写为：
这样，就得到一个函数r:R→R3，称这种函数为向量函数。
向量函数除了自然具有向量的加法、数乘、模（范数）等运算外，我们还定义微积分运算如下：
∫r(t)dt=(∫x(t)dt,∫y(t)dt,∫z(t)dt)
由《高等数学》的微分知识，我们知道，曲线r(t)的导数r'(t)为曲线在t点处的切线，再根据曲线积分，可得到曲线弧长函数：
利用弧长函数，曲线从a到b的弧长为：s(b)-s(a)。
这时，曲线就是以弧长作为参数，即，
我们称这种弧长参数为自然参数。
因为|r'(s)|=1，所以，在自然参数下，曲线r(s)的切向r’(s)为单位向量，称为切向量，记为α=r’(s)。
由于，α是单位向量，所以α只指示曲线方向，进而其导数α'自然就是曲线的方向的变化，令，
则，β表示曲线方向变化的方向，κ就是曲线方向的变化率，称κ为曲率。
曲率κ(s)表征曲线在每个s点的弯曲程度，有，
κ(s)=非零常数，曲线为位于球面上；
注：除了曲率外，决定曲线形状的另外一个因素是挠率。挠率为0的曲线在一个平面内，这时如果曲率为非零常数，则曲线是一个圆。
关于挠率的详细介绍可借鉴我回答的另一个问题：挠率描述的是空间曲线的什么？
注：α不指示曲线长度随着参数s的变化快慢。曲线长度的变化率|r’(t)|，不影响曲线的形状，它只是表征参数t在曲线内部行走的速度，当t=s时，就表明t在做速度=1的匀速直线（t在曲线内部认为自己走的是直线）运动。
对于任意向量函数a(t)=(a?(t),a?(t),a?(t))和b(t)=(b?(t),b?(t),b?(t))有，
(a?b)'=(a?b?+a?b?+a?b?)‘=a?'b?+a?b?'+a?'b?+a?b?'+a?'b?+a?b?'=(a?'b?+a?'b?+a?'b?)+(a?b?'+a?b?'+a?b?')=a'?b+a?b'
2|a|'=(|a|2)’=(a?a)'=a'?a+a?a'=2a?a'
内积为0的两个非零向量一定相互垂直
因为a?b=|a||b|cos∠ab，当a⊥b时∠ab=π/2+kπ，于是a?b=|a||b|cos(π/2+kπ)=0。
这说明，曲率方向一定垂直于切线方向，于是称β为主法向量。
利用上面的曲线曲率概念，仅使用高中所学的《解析几何》的知识，我们可以有如下的一系列关于曲面的定义：
与曲面S有且仅有一点p重合的平面T称为切面，p称为切点；
过切点p垂直于切面T的直线n，称为法线；
以法线为轴的任意平面N，都称为一个法截面；
法截面N和曲面S的交线m称为法截线；
将法截线m的曲率称为曲面S在p点处沿着法截面N方向的主曲率，记为κ_n。
由图可知，主曲率κ_n描述了曲面在p点这个位置，法截面N这个方向的弯曲程度，不同的位置和方向，曲面的弯曲程度往往不同。
诚然，上面的这些定义非常的粗糙，要搞清楚法曲率的性质，我们需要进一步分析。
仿照上面曲线的做法，我们可以将曲面的参数方程（u,v∈R）：
改写为，二元向量函数r:R2→R3，
这样以来，曲面r(u,v)就将UV平面R2中的点(u,v)映射为XYZ三维空间R3中的点r(u,v)=(x,y,z)，同时也将任意平面曲线：
r(t)=r(u(t),v(t))=(x(u(t),v(t)),y(u(t),v(t)),z(u(t),v(t)))，
而且，这些空间曲线r(t)都有位于曲面r(u,v)上。
和前面的向量函数的导数运算类似，可以定义二元向量函数的偏导运算：
r?(u,v)=(x?(u,v),y?(u,v),z?(u,v))
r?(u,v)=(x?(u,v),y?(u,v),z?(u,v))
再根据，《高等数学》中的二元函数链式求导法则：
r’(t)=r'(u,v)=(x'(u,v),y'(u,v),z'(u,v))=(x?u'+x?v',y?u'+y?v',z?u'+z?v')=(x?,y?,z?)u'+(x?,y?,z?)v'=r?u'+r?v'
由于，曲线S上任意一点p处，偏导向量r?|p和r?|p是确定的，于是上式说明：
曲面内任意过p点的曲线r(t)在p点处的切线向量r'(t)|p是偏导向量r?|p和r?|p的线性组合
进而，只要保证r?|p和r?|p线性无关，则过p点的所有曲面内曲线在该点处的切向量组成一个以r?|p，r?|p为基的二维线性空间，称为切空间，记为Tp(S)。
切空间Tp(S)就上面定义中的p点处的切面T。
另外，我们称，可以保证任意一点p的r?和r?都线性无关的具有三阶连续偏导的曲面，为正则曲面。本回答，所讨论的曲面都是正则曲面。
所谓r?和r?线性无关，就是r?和r?不平行，根据向量外积的性质，有：
因为|r?×r?|=|r?||r?|sin∠r?r?当r?//r?时∠r?r?=kπ，于是|r?×r?|=|r?||r?|sin(kπ)=0。
于是只要满足|r?×r?|≠0就是可以保证r?和r?线性无关了。
单位向量n垂直于切空间内所有切向量，从而就垂直于切面T，于是就位于法线n内，称n为曲面的法向量。
考虑任意具有自然参数的曲面内曲线r(s)=r(u(s),v(s))，有，
α'=(r?u'(s)+r?v'(s))'=(r?)'u'(s)+r?u''(s)+(r?)'v'(s)+r?v''(s)=(r??u'(s)+r??v'(s))u'(s)+r?u''(s)+(r??u'(s)+r??v'(s))v'(s)+r?v''(s)=r??(u'(s))2+r??v'(s)u'(s)+r??u'(s)v'(s)+r??(v'(s))2+r?u''(s)+r?v''(s)
再根据，《高等数学》中偏导性质，有：
α'=r??(u'(s))2+2r??u'(s)v'(s)+r??(v'(s))2+r?u''(s)+r?v''(s)
再考虑，曲率κ=|α'|在法向量n上投影：
κcos∠α'n=κ1cos∠α'n=|α'||n|cos∠α'n=α'?n=r???n(u'(s))2+2r???nu'(s)v'(s)+r???n(v'(s))2+r??nu''(s)+r??nv''(s)
因为n⊥r?,r?所以r??n=r??n=0，于是得到：
κcos∠α'n=r???n(u'(s))2+2r???nu'(s)v'(s)+r???n(v'(s))2
和上面类似，对于确定p点来说，r???n，r???n，r???n都是确定的，因此曲线r(s)曲率在法向量上的投影只取决于其，对应的UV平面曲线w(s)=(u(s),v(s))的导数w'(s)=(u'(s),v'(s))，而s是自然参数，所以|w'(s)|=1，故，w'(s)只表征切线的方向，于是我们可以得出如下结论：
过任意点p的具有同一切线的曲面内曲线r(s)在p点处的曲率在法向量上的投影相同。
根据前面的结论，法截线m的曲率方向β垂直于切线l，而切线l又与法线n垂直，再加上法截线m和法线n都处于法截面N内，因此β//n，这说明m的曲率在法向量上投影就是自己，同时也是曲面在l方向的主曲率κ_n。又由于任何以l为切线的曲面内曲线的曲率在法向量上投影都相当，所以这个投影就是主曲率κ_n，即，
κ_n=κcos∠α'n=r???n(u'(s))2+2r???nu'(s)v'(s)+r???n(v'(s))2
κ_n=r???n(u'(s))2+2r???nu'(s)v'(s)+r???n(v'(s))2=L(du/ds)2+2r???ndu/dsdv/ds+r???n(dv/ds)2=(r???ndu2+2r???ndudv+r???ndv2)/ds2
1=|α|=α?α=(r?u'(s)+r?v'(s))?(r?u'(s)+r?v'(s))=r??r?(u'(s))2+2r??r?u'(s)v'(s)+r??r?(v'(s))2=r??r?(du/ds)2+2r??r?du/dsdv/ds+r??r?(dv/ds)2=(r??r?du2+2r??r?dudv+r??r?dv2)/ds2
κ_n=(r???ndu2+2r???ndudv+r???ndv2)/(r??r?du2+2r??r?dudv+r??r?dv2)
E=r??r?,F=r??r?,G=r??r?,Ⅰ=Edu2+2Fdudv+Gdv2
L=r???n,M=r???n,N=r???n,Ⅱ=Ldu2+2Mdudv+Ndv2
其中，Ⅰ和Ⅱ是曲面的两种基本的二次微分形式，类似于一次微分形式：dr=r?du+r?dv。
曲面上p点处沿着不同的切线方向法曲率不尽相同，可以找出其中的最大值和最小值，我们称为主曲率，对应的切线方向称为主方向。如果p点处任意切线方向的法曲率都相同，则称p点为脐点，脐点的任意切线方向都是主方向。
可以证明：曲面上任意一点的两个主方向总是相互垂直的，并且，设κ?，κ?是主曲率e?,e?是两个主方向的单位向量，则任意切向量e=e?cosθ+e?sinθ方向的法曲率为：
利用欧拉公式，计算法曲率就是归结为计算主曲率，那么如何计算主曲率呢？经过研究数学家发现，曲面的主曲率κ?，κ?是一元二次方程：
ax2+bx+c=0,a=EG-F2,b=-(LG-2MF+NE),c=LN-M2
可以验证b2-4ac≥0，这说明曲面的主曲率总是存在。
平面的高斯曲率K恒为0，但高斯曲率K恒为0的曲面不一定是平面，例如：柱面。可以证明，高斯曲率K恒为0的曲面都可以被无缩放的展开成为平面，称为可展曲面。
一个曲面内曲线的r曲率κ在法向量n上的投影法曲率κ_n，和曲线r无关，它体现的是曲面在切向量α方向的弯曲程度，那么问题来了，我们用什么表征曲面内曲线r的实际弯曲程度呢？聪明的条友估计已经想到了，那么就是将曲率κ在切平面T上进行投影，称为测地曲率，记为κ_g。
具体来说，由于单位向量α×n∈T，并且α×n⊥α,n所以κ切平面T的投影，就是κ在α×n上的投影，于是我们得到测地曲率公式：
测地曲率横为零的曲面内曲线称为，测地线。测地线在UV平面中是一条直线，因此测地线也被看曲面上的直线。球面的大圆（例如：赤道纬线，经线）就是测地线。
过直线外一点，有不等于1条直线和原直线平行。
在《平面几何》中有，外角和公式：
将其扩展到曲面多边形，就是高斯博内特公式：
设，曲面中的曲边多边形C围成的区域是D，外角是α?,α?,...,α_n，则有,
对于平面来说K=0，多边形的边是直线κ_g=0，这样高斯博内特公式就退化为外角和公式。
设直边三角形（边为测地线κ_g=0）内角为φ?,φ?，φ?，根据高斯博内特公式有：
∫∫?Kdσ+(π-φ?)+(π-φ?)+(π-φ?)=2π
平面的高斯曲率K=0，于是三角形内角和等于180°；
马鞍面的高斯曲率K<0,于是三角形内角和小于180°；
椭球面的高斯曲率K>0,于是三角形内角和大于180°；
这个结论，我们在非欧几何的科普文章中常常看到。
至此，在《黎曼几何》之前的关于曲率的知识就给大家介绍完了！这些知识，对于有志于了解非欧几何是非常重要的，更是进入非欧几何的正确途径。
（小石头数学水平有限，出错在所难免，欢迎大家批评指正！）
关于曲面电影 简介怎么写到此分享完毕，希望能帮助到您。
